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生産関数のy=KLを使いこなす！労働投入量と資本投入量の計算

公務員試験公務員試験-ミクロ経済学

ミクロ経済学の話は、消費者からの目線と生産者からの目線に二分できます。

消費者からの目線において、よく使われる関数が費用曲線です。以前も解説しているので、ぜひ参考にしてください。

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ここでは、生産者からの目線に立って生産関数を説明します。

公式であるY＝KLを使い、労働投入量や資本投入量の計算をできるようにしましょう。

生産関数とは？
Y=KLの性質
- 最適資本量を求める問題
まとめ

生産関数とは？

生産関数とは、ある生産要素と生産量を見比べて、どの程度の生産技術を誇るかを測るための概念です。

生産活動においては、原材料（生産要素）を加工して製品をつくるのが基本的な流れです。

機械が優れていれば、より効率良く製品を作れます。このポイントを押さえ、生産関数の仕組みを掘り下げましょう。

生産関数はY=KL型が基本

次に「Y=KL」の公式を使った生産関数について紹介します。

Kは資本投入量、Lは労働投入量を指すアルファベットです。

ある企業が生産活動を行うには、資本家と労働者の2つの立場を考慮しなければなりません。

例えば、 $Y=K^{0.6}L^{0.4}$ と式がありました。

この場合は資本投入量に60％、労働投入量に40％分配される状態を表しています。

資本投入量について

資本とは本来生産活動に必要な要素全てを指しますが、ここでは「機械」といった設備だと捉えてください。

資本投入量は、企業がどの程度の資本に費やしているかを示す数値です。

我々が仕事をするときは、全て手作業で行うところは少ないと思います。

工場の機械以外にも、コピー機やパソコンなど至る場面で資本を使うはずです。

なるべく機械化（AI化）を進めるのが望ましいものの、導入には膨大なコストもかかります。

企業の大きさにも左右されるため、簡単に投入量を変えられないのが資本の特徴です。

AIを導入するときも企業のキャパは無視できない！

労働投入量について

今度は労働者の視点に立って解説します。

労働投入量とは、企業がどの程度の割合を労働力に依存したかを示す値です。

一般に労働者数×労働時間で示されます。

生産性から見ると、労働投入量が多い企業は効率悪いと捉えられています。

あまりにも人が長時間働きすぎると、資本にかけるコストが減ってしまいます。

労働投入量を抑え、機械やAIも使いながら補う取り組みが企業にとっては重要です。

なお、労働投入量が増えるほど、資本投入量が下がる現象を技術的代替率と呼びます。技術的代替率のお話はこちらです。

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あわせて覚えるようにしてください。

Y=KLの性質

続いて「Y＝KL」の性質について確認します。

こちらの式は費用関数と同じようにコブ＝ダグラス型が使われています。

コブ＝ダグラス型とは、 $Y=K^{0.6}L^{0.4}$ のような式です。

公務員試験レベルでは、この式さえ押さえてしまえば問題ありません。

式の詳しい仕組みについては、後日改めて記事を書きたいと思います。

練習問題を解きながらコブ=ダグラス型の式をおさらいしましょう。

最適資本量を求める問題

ここでは、y＝KL型の最適資本量を求めます。

最適資本量とは、利潤が最大化されるときの資本投入量のことです。

問題は次のとおりです。

式が $Y=K^{0.6}L^{0.4}$ のときの最適資本量を求めよ
資本と労働の価格はそれぞれ3と64で産出量を20に固定

手順を3つに分けて解説します。　

技術的限界代替率の式を作る

最適資本量を求める際には、技術的限界代替率の式を作ります。

技術的限界代替率は、等量曲線と接する線の傾きのことです。等量曲線についてはこちらの記事を参考にしてください。

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技術的限界代替率（MRTS）の式は次のとおりです。

$MRTS= \dfrac {⊿K}{⊿L}$

つまり $\dfrac {⊿K}{⊿L}= \dfrac {⊿MPL（労働の限界生産力）}{⊿MPK（資本の限界生産力）}$ となります。

この式に生産関数を当てはめて考えてください。

微分をしながら解く

ミクロ経済学は頻繁に微分を用います。まずは、資本の限界生産力から考えます。

生産関数の資本は、 $K^{0.6}$ でした。

微分するときは、指数の値をKの係数に位置へ持っていきます。

0.6Kとなり、指数の部分は−1をするのがルールでした。

$0.6K^{−0.4}L^{0.4}$ が正しい値です。

同じ容量で労働の限界生産力は $0.4K^{0.6}L^{−0.6}$ となります。

MRTSは $\dfrac{0.4K^{0.6}L^{−0.6}}{0.6K^{−0.4}L^{0.4}}$ です。

一度「係数は無視して」考えてください。

すると指数がたくさん残ったKとLが残ります。

$\dfrac{K^{0.6}L^{−0.6}}{K^{−0.4}L^{0.4}}$

公務員試験レベル（地方上級や市役所は特に）であれば、とりあえず $\dfrac {K}{L}$ になることを覚えてしまったほうが手っ取り早いです。

問題を解く時間も限られてくるため、考える時間はなるべく削減しましょう。

後は、係数を合わせて考えれば、 $\dfrac {0.4}{0.6}×\dfrac {K}{L}$ といった式が作れます。

ちなみに、どうしても指数の計算で $\dfrac {K}{L}$ を求めたいときの方法はこちらです。気になる方は参考にしてください。

$\dfrac{K^{0.6}L^{−0.6}}{K^{−0.4}L^{0.4}}$

$K^{0.6-(-0.4)}L^{−0.6-0.4}$
※分数（割り算）の場合、指数同士の計算は引き算になる

$K^{1}L^{−1}$

$\dfrac {K}{L}$
※指数が「−（マイナス）」のときは逆数を取る

要素価格比率との計算

最後に価格（労働64、資本3）を用いて計算します。ここでは、要素価格比率を覚えてください。公式は次のとおりです。

$要素価格比率＝\dfrac {w（労働の価格）}{r（資本の価格）}$

上の公式に当てはめると、要素価格比率は $\dfrac {64}{3}$ です。

先程の技術的代替率を用いると、以下の式が作れました。

$\dfrac {0.4}{0.6}×\dfrac {K}{L}$ ＝ $\dfrac {64}{3}$

この式を計算してください。

$\dfrac {2}{3}×\dfrac {K}{L}$ ＝ $\dfrac {64}{3}$

$\dfrac {2K}{3L}$ ＝ $\dfrac {64}{3}$

L＝ $\dfrac {1}{32}$ K

最適消費量を求める

最後に最適消費量を求めます。まずは、L=2Kの式を生産関数に代入しましょう。

$Y=K^{0.6}×(\dfrac{1}{32}K)^{0.4}$

$Y=K^{0.6}×K^{0.4}×\dfrac{1}{32}^{0.4}$

$\dfrac{1}{32}^{0.4}$ の0.4は、 $\dfrac {2}{5}$ に直した方が分かりやすいです。

$\dfrac{1}{32}^{1/5}$ は $\dfrac{1}{2}$ と改められます。

さらに2乗（分子が2）されることから、 $\dfrac{1}{32}^{0.4}$ の値は $\dfrac{1}{4}$ です。

$Y=K^{0.6}×K^{0.4}$ の値は指数の計算でKとなります。

$\dfrac{1}{4}K$ と整理できるはずです。

加えて産出量（Y）の値は20でした。

$\dfrac{1}{4}K$ =20となり
K=80が求めたい答えです。

指数の計算ややこしいな〜…。

指数が分数、負の数のルールは再確認しよう！

まとめ

今回はY=KLの公式を使いつつ、生産関数の仕組みについて解説しました。

労働投入量や資本投入量を求める計算は、指数のルールをしっかりと押さえなければなりません。

特に $Y=32K^{0.4}$ は、 $Y=K^{0.4}×32^{0.4}$ と分けて計算する方法を押さえると簡単です。

どうしても指数の計算が難しい場合は、 $\dfrac {K}{L}$ が式に出てくる点を暗記してください。

この分野も理解してしまえば、生産者から見たミクロ経済学は問題なく解けると思います。